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Análisis de Decisiones

El análisis de decisión (DA) es la disciplina que comprende la filosofía, la teoría, metodología y la práctica profesional necesaria para hacer frente a importantes decisiones de una manera formal.

El análisis de decisiones incluye muchos procedimientos, métodos y herramientas para identificar, claramente que representa, y formalmente la evaluación de los aspectos importantes de una decisión, para la prescripción de un curso de acción recomendado por la aplicación de la máxima prevista axioma de la acción de utilidad a una representación bien formada de la decisión, y para la traducción de la representación formal de la decisión y su correspondiente recomendación en conocimiento para la toma de decisiones y otras partes interesadas.


Análisis de decisiones bajo certidumbre

Una categoría del análisis de decisiones es el análisis de decisiones bajo certidumbre, donde los datos se conocen de forma determinística. En esta se tiene conocimiento total sobre el problema, las alternativas de solución que se planteen van a causar siempre resultados conocidos e invariables. Al tomar la decisión solo se debe pensar en la alternativa que genere mayor beneficio. Mediante este modelo de decisión se pueden predecir con certeza las consecuencias de cada alternativa de acción. Otra manera de pensar en esto es que existe una relación directa de causa y efecto entre cada acto y su consecuencia.

Características

  • Limitación de los modelos empleados, debido a que generalmente están pensados para operar con información cuantificable y con objetivos o criterios expresables en forma cuantitativa; lo cual impide, o al menos dificulta, su aplicación a un gran número de problemas. Ergo, en realidad esta limitación no es tan grave, ya que a menudo es posible cuantificar aunque sólo sea aproximadamente los criterios de evaluación cualitativos.
  • Los parámetros son constantes conocidos y ciertos.
  • Solamente hay una consecuencia para cada alternativa.
  • Se tiene conocimiento total sobre el problema.
  • Información exacta, medible y confiable acerca del resultado de cadauna de las alternativas que consideremos.
  • En el ambiente del proceso de la toma de decisiones bajo certidumbre, quienes las toman conocen con certeza la consecuencia de cada una de las alternativas que implica la selección de la decisión. Naturalmente, seleccionaran la alternativa que maximizará su bienestar o que dará mejor resultados.

Modelos matemáticos asociados

El análisis del punto de equilibrio

Estudia la relación que existe entre costos y gastos fijos, costos y gastos variables, volumen de ventas y utilidades operacionales. Además es aquel nivel de producción y ventas que una empresa o negocio alcanza para lograr cubrir los costos y gastos con sus ingresos obtenidos. En otras palabras, a este nivel de producción y ventas la utilidad operacional es cero, o sea, que los ingresos son iguales a la sumatoria de los costos y gastos operacionales. El punto de equilibrio se considera una herramienta útil para determinar el apalancamiento operativo que puede tener una empresa en un momento determinado y se puede calcular tanto para unidades como para valores en dinero. Algebraicamente el punto de equilibrio para unidades se calcula utilizando la siguiente fórmula:

1-0

Donde:

CF = Costos fijos PVq = precio de venta unitario CVq= costo variable unitario

También se puede calcular para ventas siguiendo:

2

Donde:

CF = costos fijos CVT = costo variable total VT = ventas totales

Objetivos
  • Determinar en que momento son iguales los ingresos y los gastos.
  • Medir la eficiencia de operación y controlar las sumas por cifras predeterminadas por medio de compararlas con cifras reales, para desarrollar de forma correcta las políticas y decisiones de la administración de la empresa.
  • Influye de forma importante para poder realizar el análisis, planeación y control de los recursos de la entidad.
Factores determinantes
  • El volumen de producción afectará de forma directa a los costos variables, mientras que los costos fijos no son influidos por este.
  • El tiempo afecta al punto de equilibrio de forma que se puede dar solución a los problemas de forma oportuna.
  • Los artículos y las líneas de producción deben tomarse a consideración para no caer en producciones que no generan utilidades.
  • Los datos reales y presupuestados de los estados financieros permitirán determinar las variaciones, que las provoco y así aplicar soluciones.
Elementos determinantes

Los costos constantes se subdividen en fijos y regulares:

  • Fijos: Son aquellos que se efectúan necesariamente cada periodo.
  • Regulares: Son aquellos que se efectúan bajo control directivo de acuerdo a políticas de producción o ventas.
Requerimientos para el punto de equilibrio

Para poder realizar un análisis por medio del punto de equilibrio se necesita cumplir una serie de requerimientos:

  • Los inventarios deben de ser constantes, o que las variaciones que presentan no sean relevantes durante la operación de la entidad.
  • La contabilidad debe de estar basada en el costeo directo o marginal en lugar del método de costeo absorbente, esto con el fin de poder identificar los costos fijos y variables.
  • Se deberá de realizar la separación de los costos fijos y los costos variables.
  • Determinar la utilidad o contribución marginal por unidad de producción.

Programación Lineal

La programación lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. Se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales.

Los modelos de programación lineal son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería, en los campos de agricultura, industria, transporte, economía, salud, ciencias sociales y de la conducta, y militar, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización. También produce algoritmos eficientes de cómputo para problemas con miles de restricciones y variables.

La PL es una herramienta para la ayuda en la toma de decisiones, que permite plantear un tipo particular de modelo matemático, donde se representa en forma simplificada el problema de decisión, las variables de decisión, el objetivo y las restricciones mediante símbolos matemáticos y ecuaciones.

Una de las grandes ventaja de utilizar este tipo de modelos es que mediante un algoritmo de resolución se puede obtener la decisión más óptima o incluso la mejor aunque haya miles de variables y relaciones entre ellas.

Componentes del modelo de PL

El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos.

  • Las variables de decisión que se trata de determinar.
  • El objetivo (la meta) que se trata de optimizar.
  • Las restricciones que se deben satisfacer.
Propiedades de la PL
  • La linealidad implica que la programación lineal debe satisfacer dos propiedades:
  • La proporcionalidad: requiere que la contribución de cada variable de decisión en la función objetivo, y sus requerimientos en las restricciones, sea directamente proporcional al valor de la variable.
  • La aditividad: estipula que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y sus requerimientos en las restricciones, sean la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable.
Modelo de programación lineal con dos variables

Este modelo, se interesa en interesa determinar la solución óptima factible que produzca la utilidad total máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones.

No se acepta enumerar las soluciones factibles, porque el modelo tiene una cantidad infinita de ellas. En su lugar, se necesita un procedimiento sistemático que ubique con eficiencia la solución óptima. El método gráfico y su generalización algebraica resuelven esto.

Proporcionalidad: En este modelo las cantidades 5x1 y 4x2 expresan las utilidades por producir x1 y x2 toneladas de pintura para exteriores y para interiores, respectivamente, y las utilidades unitarias por tonelada son 5 y 4, que definen las constantes de proporcionalidad. Si, por otra parte, la compañía ofrece alguna clase de descuentos por cantidad cuando las ventas son mayores que ciertas cantidades, la utilidad ya no será proporcional a las cantidades producidas x1 y x2.

Aditividad: En este modelo, la utilidad total es igual a la suma de dos componentes individuales de utilidad. Sin embargo, si los dos productos compiten por la misma parte de mercado en forma tal que un aumento de ventas de uno afecte negativamente al otro, ya no se satisface la propiedad de aditividad.

Solución gráfica de la programación lineal

El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos:

  1. Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo.
  2. Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones.
Método simplex

La transición de la solución del punto esquina geométrico hasta el método simplex implica un procedimiento de cómputo que determina en forma algebraica los puntos esquina. Esto se logra convirtiendo primero a todas las restricciones de desigualdad en ecuaciones, para después manipular esas ecuaciones en una forma sistemática. Una propiedad general del método simplex es que resuelve la programación lineal en iteraciones. Cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejoras.

Para estandarizar, la representación algebraica del espacio de soluciones de programación lineal se forma bajo dos condiciones:

  • Todas las restricciones (excepto las de no negatividad) son ecuaciones con lado derecho no negativo.
  • Todas las variables son no negativas.

Método simplex usando técnica M

En los modelos de programación lineal aparecen con frecuencia restricciones de tipo igualdad o desigualdades del tipo (≥), por lo que no es posible en estos casos obtener una solución factible básica de inicio con las variables de holgura.

Para disponer de una solución básica factible de inicio, se usan variables artificiales, las cuales son no negativas y se suman al primer miembro de cada ecuación en la forma estándar del modelo que no contenga variables de holgura, que sirvan de variables básicas de inicio.

Las variables artificiales desempeñan igual función que las variables de holgura. Sin embargo, no tienen significado físico ni económico, de ahí el nombre de artificiales.

Para que el proceso de optimización sea válido se requiere que en la solución óptima estas variables valgan cero, y se logra penalizándolas en la función objetivo. El método consiste en utilizar coeficientes positivos muy grandes (M >> 0) para las variables artificiales en la función objetivo, sumadas si el problema es de minimización o restadas si es de maximización.

Método simplex usando técnica de dos fases

La técnica de dos fases se utiliza en la solución de problemas de Programación lineal, que presentan los siguientes requerimientos:

  • Modificar las restricciones para que el lado derecho sea no negativo.
  • Convertir las desigualdades a su forma estándar.
  • Añadir una variable artificial no negativa (a) a las restricciones que en el paso 1 fueran igual a cero (0).

Ésta elimina el uso de la constante M, que puede provocar problemas en el redondeo de cifras. El procedimiento, como su nombre lo indica, consta de dos fases:

Fase 1. Se formula el problema inicial remplazando Z por la suma de las variables artificiales únicamente (R1, R2, etc.). Las restricciones quedan igual que las del problema original. Si el problema tiene un espacio factible, el valor mínimo de la nueva función objetivo (r) es igual a cero, lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. Si lo anterior no se cumple, el problema termina concluyendo que no existe solución factible.

Fase 2. Si el valor mínimo fue cero en la anterior (r = 0 ), se utiliza la solución final como inicio de esta fase colocando únicamente la Z del problema original con valor de solución cero. A partir de aquí se sustituyen los valores de las casillas de Z correspondientes a las columnas pivotes considerando además el tipo de objetivo que este tenga.

El método de dos fases, tiene las siguientes consideraciones:

1. Si el valor óptimo de r es diferente de cero el problema original no tiene solución factible.

2. Si el valor óptimo de r es 0 y no hay variables artificiales en la solución básica se eliminan las columnas de la tabla óptima de la fase 1 que corresponden a las variables artificiales y se combinan la función objetivo original con las restricciones de dicha tabla (Fase 2).

Programación de la Producción

Actividad que consiste en la fijación de planes y horarios de la producción, de acuerdo a la prioridad de la operación por realizar, determinado así su inicio y fin, para lograr el nivel más eficiente. La función principal de la programación de la producción consiste en lograr un movimiento uniforme y rítmico de los productos a través de las etapas de producción.

Se inicia con la especificación de lo que debe hacerse, en función de la planeación de la producción. Incluye la carga de los productos a los centros de producción y el despacho de instrucciones pertinentes a la operación.

El programa de producción es afectado por:

  • Materiales: Para cumplir con las fechas comprometidas para su entrega.
  • Capacidad del personal: Para mantener bajos costos al utilizarlo eficazmente, en ocasiones afecta la fecha de entrega.
  • Capacidad de producción de la maquinaria: Para tener una utilización adecuada de ellas, deben observarse las condiciones ambientales, especificaciones, calidad y cantidad de los materiales, la experiencia y capacidad de las operaciones en aquellas.
  • Sistemas de producción: Realizar un estudio y seleccionar el más adecuado, acorde con las necesidades de la empresa.

La función de la programación de producción tiene como finalidad la siguiente:

  • Prever las pérdidas de tiempo o las sobrecargas entre los centros de producción.
  • Mantener ocupada la mano de obra disponible.
  • Cumplir con los plazos de entrega establecidos.

Existen diversos medios de programación de la producción, entre losque destacan los siguientes:

  • Gráfica de barras. Muestra las líneas de tendencia.
  • Diagrama de Gantt: Se utiliza en la resolución de problemas relativamente pequeños y de poca complejidad.
  • Ruta crítica (CPM): Se conoce también como teoría de redes, es un método matemático que permite una secuencia y utilización óptima de los recursos.
  • PERT: Es una variación del CPM, en la cual además de tener como objetivo minimizar el tiempo, se desea lograr el máximo de calidad del trabajo y la reducción mínima de costos.

La programación de la producción, o mejor denominada scheduling, es una respuesta operativa para optimizar la producción de un bien o servicio.

El scheduling es una de las actividades más relevantes y complejas en el arsenal de la gestión de la producción.

Modelo PERT-CPM

Los métodos CPM (método de la ruta critica o del camino critico, Critical Path Method) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa, Program Evaluation and Review Technique) se basan en redes, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades.

Representación en red

Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la dirección de avance del proyecto. Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto. Para configurar la red se dispone de dos reglas:

Regla 1. Cada actividad se representa con un arco y uno solo.

Regla 2. Cada actividad se debe representar con dos nodos distintos.

Elementos

  • Arcos de flecha o segmentos continuos de línea ( ________ ), cada uno de los cuales representa a una única actividad del proyecto.
  • Puntas de las flechas (>) que representan la secuencia en que deben ser
  • ejecutadas las actividades del proyecto.
  • Nodos ( O ), que representan el momento o la fecha calendario en que han concluido las actividades que concurren a él, y pueden ser iniciadas las actividades siguientes en la secuencia establecida. Se les denomina “Eventos”. Los puntos de inicio y terminación de una actividad están descritos por dos eventos usualmente conocidos por evento inicial (i) y terminal(j)
  • Actividades ficticias: Estas no consumen tiempo ni recursos; se representan con segmentos de línea entrecortada para diferenciarlas de las actividades reales ( --------- )
  • Numeración de eventos: que debe ser progresiva y continua. Sobre la red deben colocarse también los tiempos necesarios para ejecutar cada actividad.

Determinación de la Ruta Crítica

Una ruta crítica define una cadena de actividades críticas, las cuales conectan los eventos inicial y final del diagrama de flechas.

Identificar las actividades críticas del proyecto se realiza es dos fases:

  • Fase hacia adelante para obtener el tiempo de ocurrencia más próximo del evento. Se coloca al lado del evento en un cuadrado. ⬜
  • Fase hacia atrás para obtener el tiempo de ocurrencia más tardío del evento. Se coloca sobre el cuadrado en un triangulo. ⛛
  • Para identificar las actividades críticas: ⇏
Diagrama de Gantt o de tiempo

El diagrama de tiempo es el producto final de los cálculos de una red de actividades. Puede convertirse en un programa calendario apropiado para el uso del personal que ejecutara el proyecto y debe hacerse dentro de las limitaciones de los recursos disponibles, ya que no es posible realizar actividades simultáneas debido a las limitaciones de personal y equipo.

Procedimiento para construir el diagrama de tiempo

  1. Construir el diagrama de tiempo para las actividades críticas con líneas continuas. Si en la red existe una actividad critica ficticia trazar una línea vertical.
  2. Considerar las actividades no críticas indicando sus límites de tiempo TIPI y TTTJ en el diagrama. Los límites de tiempo se indican con líneas punteadas indicando que dichas actividades pueden ejecutarse dentro del límite de tiempo sin afectar su precedencia.

Funciones de la holgura total y libre

Si la holgura total es igual a la holgura libre, la actividad no critica se puede programar en cualquier parte entre los tiempos de inicio mas temprano (TIPI ) y del tiempo de terminación mas tardío (TTTJ ).

Si la holgura libre es menor que la holgura total, el inicio de la actividad no crítica se puede demorar en relación con su tiempo de inicio más temprano (TIPI ) una cantidad no mayor que el monto de su holgura libre (HLIJ ), sin afectar la programación de sus actividades inmediatamente sucesivas.

Control de Inventario

El control de inventarios, existe cuando es necesario guardar bienes físicos o mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo especificado (finito o infinito). Las empresas deben almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cuándo hacer pedidos y en qué cantidad, son típicas de cada problema de inventario. El objetivo estriba en definir el nivel de inventario. Estas decisiones consisten en dar normas que nos precisen en que instante se deben efectuar los pedidos del producto considerado y la cantidad que se debe pedir.

En términos generales un inventario es un conjunto de recursos útiles que se encuentran ociosos en algún momento. El objetivo de los problemas de inventario es minimizar los costes (totales o esperados) del sistema sujetos a la restricción de satisfacer la demanda (conocida o aleatoria). Entre los diferentes costes que puede haber en un problema de inventario están:

  • Costos de fabricación.
  • Costos de mantenimiento o almacenamiento.
  • Costos de penalización o rotura por no satisfacer la demanda.
  • Rendimientos o ingresos. (Puede o no incluirse en el modelo).
  • Costes de recuperación o salvamento. (El valor de recuperación representa el valor de desecho del artículo para la empresa, quizá a través de una venta con descuento).
  • Tasa de descuento. La tasa de descuento toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Cuando una empresa compromete capital en inventarios, no puede usar este dinero para otros fines.

El problema básico es determinar cuánto y cuándo hay que producir. Los problemas de inventarios suelen clasificarse en:

  • Determinístico: demanda fija.
  • Aleatorios: demanda es una variable aleatoria con distribución conocida.

Otra clasificación tiene en cuenta la forma de revisión del inventario:

  • Modelos de revisión continua: se hacen pedidos cuando el inventario baja de cierto límite.
  • Modelos de revisión periódica: si los pedidos se hacen a intervalos de tiempo discretos.

La situación de inventarios más común que enfrentan los fabricantes, distribuidores y comerciantes es que los niveles de inventarios se reducen con el tiempo y después se reabastecen con la llegada de nuevas unidades. Una representación de esta situación es el modelo del lote económico o modelo de EOQ.

Los elementos del modelo son:

  • Se piden o producen Q unidades a la vez en el momento que sea necesario.

Los costos que se consideran son:

  • El costo fijo de preparación de un pedido es k.
  • El costo de producir ó comprar una unidad del artículo es c.
  • El costo del inventario de una unidad del artículo durante una unidad de tiempo es h.
  • Se requieren a unidades del artículo por unidad de tiempo.

El objetivo problema consiste en determinar la frecuencia con la que hay que hacer los pedidos y el número de unidades a pedir para que el coste por unidad de tiempo sea mínimo. Se supone revisión continua, por lo que el inventario se puede reabastecer cuando el inventario baje lo suficiente.

El modelo EOQ básico realiza las siguientes suposiciones:

  • Se conoce la tasa de demanda de a unidades por unidad de tiempo.
  • La cantidad ordenada (Q) para reabastecer el inventario llega toda junta cuando se desea, es decir, cuando el nivel del inventario baja a 0.
  • No se permite planear faltantes.
  • Llamamos ciclo al tiempo t entre dos instantes consecutivos de pedido. Es:
3
  • El coste de producción por ciclo es k + cQ ( si Q > 0), 0(si Q = 0).
  • El nivel medio de inventario durante un ciclo es Q/2 y el coste correspondiente es: h Q/2 por unidad de tiempo, luego el coste de mantenimiento por ciclo es: h Q/2 por unidad de tiempo, luego el coste de mantenimiento por ciclo es: h Q/2 Q/a = h Q2/2a.
  • El coste total por ciclo es k + cQ + hQ2/2a
  • El coste total por unidad de tiempo es:
4
  • El mínimo de z se alcanza en
5

Valor que se obtiene derivando e igualando a cero la primera derivada y observando que la segunda derivada es positiva. De igual manera el tiempo óptimo será:

6

Análisis de Decisiones Bajo riesgo

En condiciones de riesgo, las ventajas asociadas a cada alternativa de decisión se describen con distribuciones de probabilidades. Por esta razón la toma de decisiones bajo riesgo se suele basar en el criterio de valor esperado, en el que se comparan alternativas de decisión con base en la maximización de la utilidad esperada, o la minimización del costo esperado. Sin embargo, como el método tiene sus limitaciones, se modifica el criterio de valor esperado para enfrentar otras situaciones.

Criterio del valor esperado

El criterio del valor esperado busca la maximización de la utilidad (promedio) esperada o la minimización del costo esperado. En los datos del problema se supone que la retribución (o el costo) asociada con cada alternativa de decisión es probabilística.

Análisis con árbol de decisión: En el ejemplo que sigue se describen casos sencillos de decisión con una cantidad finita de alternativas de decisión con matrices explícitas de retribución.

Ejemplo 11.

Suponga que desea invertir $10,000 en el mercado de valores, comprando acciones de una de dos compañías: A y B. Las acciones de la compañía A son arriesgadas, pero podrían producir un rendimiento de 50% sobre la inversión durante el año próximo. Si las condiciones del mercado de valores no son favorables (es decir, el mercado está “a la baja”), las acciones pueden perder el 20% de su valor. La empresa B proporciona utilidades seguras, de 15% en un mercado “a la alza” y sólo de 5% en un mercado “a la baja”. Todas las publicaciones que consultó (¡siempre hay una gran abundancia de ellas al final del año!) predicen que hay 60% de probabilidades que el mercado esté “a la alza”, y 40% de que esté “a la baja”. ¿Dónde debería invertir su dinero? El problema de decisión se puede resumir como sigue:

Rendimiento en un año por inversión de $10000
Alternativa de decisión Mercado "a la alza" ($) Mercado "a la baja" ($)
Acciones de la empresa A 5000 -2000
Acciones de la empresa B 1500 500
Probabilidad de ocurrencia 0.6 0.4

También se puede representar el problema mediante un árbol de decisión, como el que se ve en la figura 3.

En ese árbol se usan dos clases de nodos: un cuadrado que representa un punto de decisión, o nodo de decisión y un círculo que representa un evento aleatorio o nodo de evento. Así, dos ramas emanan del nodo de decisión 1, y representan las dos alternativas de invertir en las acciones de A o de B. A continuación, las dos ramas que emanan de los nodos de evento 2 y 3 representan los mercados “a la alza” y “a la baja”, con sus probabilidades y retribuciones respectivas.

Figura 3

7-0

Los rendimientos esperados en 1 año, para las dos alternativas, son:

Para las acciones A = $5000 x 0.6 + (-2000) x 0.4 = $2200

Para las acciones B = $500 x 0.6 + $500 x 0.4 = $1100

Con base en estos cálculos, su decisión es invertir en las acciones de A.

En la terminología de la teoría de decisiones, los mercados “a la alza” y “a la baja” del ejemplo anterior se llaman estados de la naturaleza, cuyas posibilidades de ocurrencia son probabilísticas (0.6, en comparación con 0.4). En general, un problema de decisión puede incluir n estados de la naturaleza y m alternativas. Si pj < 0 es la probabilidad de ocurrencia para el estado j de la naturaleza y aij es la retribución de la alternativa i dado el estado de la naturaleza j(i= 1,2,...,m; j = 1,2,...n), la retribución esperada para alternativa i se calcula de la siguiente manera:

EVi = ai1p1 + ai2p2 + . . . + ainpn'i = 1, 2, . . . ,n

Por definición, p1 + p2 + . . .+ pn = 1

La mejor alternativa es la relacionada con:

EVi* = max{EVi} o EVi* = mini {EVi}

dependiendo, respectivamente, de si la retribución del problema representa utilidad (ingreso) o pérdida (gasto).

Variaciones del criterio del valor esperado

Probabilidades a posteriori (de Bayes)

Las probabilidades que se usaron en el criterio del valor esperado en realidad se obtienen con datos históricos. En algunos casos se pueden modificar con ventaja esas probabilidades usando muestreo o experimentos. Las probabilidades que resultan se llaman probabilidades a posteriori (o de Bayes), en contraste con las probabilidades a priori que se determinan a partir de los datos en bruto. El ejemplo siguiente indica cómo se puede modificar el criterio del valor esperado para aprovechar la nueva información proporcionada por las probabilidades a posteriori.

Ejemplo 12.

En el ejemplo anterior las probabilidades (a priori) de 0.6 y 0.4 para un mercado “a la alza” y “a la baja”, respectivamente, se determinaron en publicaciones financieras a la mano. Ahora suponga que más que sólo confiar en esas publicaciones, ha decidido usted hacer una investigación más “personal” consultando a un amigo que ha tenido éxito en el mercado de valores. El amigo ofrece la opinión general de “a favor” o “en contra” de invertir. Esa opinión se cuantifica además de la siguiente manera: si es un mercado “a la alza” hay un 90% de probabilidades que el voto sea “a favor”. Si es un mercado “a la baja”, la probabilidad de un voto “a favor” baja a 50%. ¿Cómo usaría usted esta información adicional?

La afirmación de su amigo proporciona probabilidades condicionales para “a favor/en contra” dado que los estados de la naturaleza son mercados “a la alza” y “a la baja”. Para simplificar la presentación se usarán los siguientes símbolos:

v1 = voto a favor
v2 = voto en contra
m1 = mercado a la alza
m2 = mercado a la baja
La afirmación de su amigo se puede escribir en forma de planteos de probabilidades como sigue:
P {v1|m1} = 0.9,P{v2|m1} = 0.1
P {v1|m2} = 0.9,P{v2|m2} = 0.5
Con esta información adicional, el problema de decisión se puede resumir como sigue:

  • Si la recomendación del amigo es “a favor”, ¿Invertiría usted en las acciones de A o en las de B?
  • Si la recomendación del amigo es “en contra”, ¿Invertiría usted en las acciones de A o en las de B?

En realidad, el problema se puede resumir en un árbol de decisión, como el que se ve en la figura 3. El nodo 1 es un evento aleatorio que representa las probabilidades “a favor” y “en contra”. Los nodos 2 y 3 son puntos de decisión para elegir entre las acciones de A o de B, dado el voto “a favor” o “en contra” de su amigo, respectivamente. Por último, los nodos 4 a 7 son eventos aleatorios que representan a los mercados “a la alza” y “a la baja”.

Figura 4

Para evaluar las distintas alternativas en la figura 4, es necesario calcular las probabilidades a posteriori { | } que se muestran en las ramas de m1 y m2 asociadas a los nodos aleatorios 4, 5, 6 y 7. Esas probabilidades a posteriori se calculan teniendo en cuenta la información adicional que proporciona la recomendación “a favor” o “en contra” de su amigo, y se calcula con los siguientes pasos generales:

Paso 1. Las probabilidades condicionales P{ vj | mi } del problema se pueden resumir como sigue:

v1 v2
m1 0,9 0,1
m2 0,5 0,5

Paso 2. Calcular las probabilidades conjuntas como sigue:

P { mi , vj } = P { vj | mj }, para toda i y j

Paso 3. Calcular las probabilidades absolutas:

9

Estas probabilidades se calculan a partir de la tabla del paso 2,

sumando las columnas respectivas, lo cual produce:

P{v1} P{v2}
0,74 0,26

Paso 4. Determinar las probabilidades a posteriori que se buscan:

10

Esas probabilidades se calculan dividiendo cada columna de la tabla del paso 2 entre el elemento de la columna correspondiente de la tabla del paso 3, con lo que se obtiene (redondeando a 3 dígitos):

v1 v2
m1 0,730 0,231
m2 0,270 0,769

Éstas son las propiedades que muestra la figura. Son distintas de las probabilidades originales. Ya se pueden evaluar las alternativas con base en las percepciones esperadas para los nodos 4, 5, 6 y 7; son las siguientes:

“Voto a favor”

  • Acciones de A en el nodo 4: 5000 x 0.730 + (-2000) x 0.270 = 3100
  • Acciones de B en el nodo 5 = 1500 x 0.730 + 500 x 0.270 = 1230

Decisión: Invertir en las acciones de A.

“Voto en contra”

  • Acciones de A en el nodo 6 = 5000 x 0.231 + (-2000) x 0.769 = -383
  • Acciones de B en el nodo 7 = 1500 x 0.231 + 500 x 0.769 = 731

Decisión: Invertir en las acciones de B.

Análisis de Decisiones Bajo incertidumbre

En la toma de decisiones bajo incertidumbre se posee información deficiente para tomar la decisión, no se tienen ningún control sobre la situación, no se conoce como puede variar o la interacción de la variables del problema, se pueden plantear diferentes alternativas de solución pero no se le puede asignar probabilidad a los resultados que arrojen. Existen dos tipos de toma de decisiones bajo incertidumbre:

  • Estructuradas: No se sabe que puede pasar entre diferentes alternativas, pero sí se conoce que puede ocurrir entre varias posibilidades.
  • No estructuradas: No se sabe que puede ocurrir ni las probabilidades para las posibles soluciones, es decir no se tienen ni idea de que pueda pasar.

Características

  • En las decisiones tomadas con pura incertidumbre o ignorancia total, el decisor no tiene ningún conocimiento, ni siquiera de la probabilidad de ocurrencia de cualquier estado de la naturaleza.
  • El comportamiento del decisor se basa puramente en su actitud hacia la incógnita. Algunos de estos comportamientos son los optimistas, los pesimistas y los de arrepentimiento.
  • Los problemas con incertidumbre pura resultan apropiados sólo para la toma de decisiones en la vida privada. Se debe tener cierto conocimiento de los estados de la naturaleza, para poder predecir las probabilidades de cada estado. De lo contrario no podrá tomar una buena decisión que sea razonable y defendible.
  • Siempre que un decisor tiene cierto conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignar una probabilidad subjetiva a la ocurrencia de cada estado.
  • El decisor en caso de incertidumbre o ignorancia debería invertir en limitar sus incertidumbres con respecto a la probabilidad de cada estado de la naturaleza. Si la situación y el valor de la utilidad esperada lo aconsejan se puede comprar información relevante a especialistas, para poder tomar una mejor decisión. Encuestas, estadísticas, análisis de sensibilidad, etc.
  • Cuando las decisiones se toman bajo ignorancia total, el decisor no tiene conocimiento de los resultados de ninguno de los estados de la naturaleza y/o es costoso obtener la información necesaria. En tal caso, la decisión depende meramente del tipo de personalidad que tenga el decisor.

Modelos matemáticos asociados

Criterio de Wald

Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las peores condiciones posibles. Esto es, si el resultado x( ai , ej ) representa pérdida para el decisor, entonces, para ai la peor pérdida independientemente de lo que ej pueda ser, es máx ej { x(ai , ej ) }. El criterio minimax elige entonces la acción ai asociada a:

La siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas para la construcción de un hotel, según la cercanía que presenta con los aeropuertos de la ciudad:

Elegir _ai = mínai máxei { x( ai, ej ) }

Este criterio recibe el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige una alternativa.

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La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.

Deficiencias

En ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas. Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los niveles de seguridad de las diferentes alternativas.

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El criterio de Wald seleccionaría la alternativa a2 , aunque lo más razonable parece ser elegir la alternativa a1 , ya que en el caso más favorable proporciona una recompensa mucho mayor, mientras que en el caso más desfavorable la recompensa es similar.

Criterio de Hurwicz

Este criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta la más pesimista. En las condiciones más optimistas se elegiría la acción que proporcione el máx ai máx ej { x(ai , ej ) }. Se supone que x(ai , ej ), representa la ganancia o beneficio. De igual manera, en las condiciones más pesimistas, la acción elegida corresponde a máx ai mín ej { x(ai , ej ) }. El criterio de Hurwicz da un balance entre el optimismo extremo y el pesimismo extremo ponderando las dos condiciones anteriores por los pesos respectivos α y (1- α), donde 0 ≤ α ≤ 1. Esto es, si x(ai , ej ) representa beneficio, seleccione la acción que proporcione:

máxai { αmáxej x (ai , ej ) + ( 1 - α )mínej x( ai, ej )}

Para el caso donde x(ai , ej ) representa un costo, el criterio selecciona la acción que proporciona:

mínai { αmínej x ( ai, ej ) + ( 1 - α)máxei x( ai, ej )}

El parámetro α se conoce como índice de optimismo: cuando α = 1, el criterio es demasiado optimista; cuando α = 0, es demasiado pesimista. Un valor de α entre cero y uno puede ser seleccionado dependiendo de si el decisor tiende hacia el pesimismo o al optimismo.

En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia u otra, un valor de α = 1/2 parece ser una selección razonable.

Ejemplo 14.

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo y pesimismo de las diferentes alternativas para un valor a = 0.4:

13
La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar las parcelas A y B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de a seleccionado.

Criterio de Savage

En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores x ij para realizar la elección, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las demás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza.

Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado ej:

14
Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor elige la alternativa a i que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar entonces obtendría como ganancia xrj y dejaría de ganar xij -xrj .

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayores pérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai,

15
Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debe calcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij . Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella.

Observe que si x(ai , ej ) es una función de beneficio o de pérdida, la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij representa en ambos casos pérdidas. Por consiguiente, únicamente el criterio minimax ( y no el maximin) puede ser aplicado a la matriz de deploración r.

Deficiencias

El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables.

Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:

Estados de la Naturaleza
Alternativas e1 e2
a1 9 2
a2 4 3

La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la siguiente:

Estados de la Naturaleza
Alternativas e1 e2 ri
a1 0 4 4
a2 5 0 4

La alternativa óptima es a1 . Supongamos ahora que se añade una alternativa, dando lugar a la siguiente tabla de resultados:

Estados de la Naturaleza
Alternativas e1 e2
a1 9 2
a2 4 6
a3 3 9

La nueva tabla de pérdidas relativas sería:

Estados de la Naturaleza
Alternativas e1 e2 r1
a1 0 7 7
a2 5 3 5
a3 6 0 6

El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2, cuando antes seleccionó a1 . Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y prefiere peras. Si posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas, esto equivaldría a decir que ahora prefiere manzanas.

Criterio de Laplace

Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para un problema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad 1/n a cada uno de ellos.

La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un mayor resultado esperado:

16
Ejemplo 16.

Partiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los resultados esperados para cada una de las alternativas.

Alternativas

Terreno comprado

Estados de la Naturaleza
Aeropuerto A Aeropuerto B Resultado

esperado

A 13 -12 0.5
B -8 11 1.5
A y B 5 -1 2
Ninguno 0 0 0

En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2.

El resultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas.

Deficiencias

La objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se consideren. Por ejemplo, una partícula puede moverse o no

moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la siguiente forma: una partícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse es 1/3.

Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en la necesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza.

Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma de decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse una vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados presenta una gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla:

Estados de la Naturaleza
Alternativas e1 e2 Resultado

Esperado

a1 15000 -5000 5000
a2 5000 4000 4500

Este criterio seleccionaría la alternativa a 1 , que puede ser poco conveniente si la toma de decisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida elevada

Relación entre Riesgo, Certidumbre e Incertidumbre

La certidumbre es la condición que prevalece cuando las personas están plenamente informadas acerca de un problema, conocen soluciones alternativas y saben cuáles serán los resultados de cada solución. Esta condición significa que las personas conocen a fondo el problema y las soluciones alternativas y que, por lo mismo están bien definidos. Cuando una persona ha identificado las soluciones alternativas y los resultados que se esperan de ellas, le resulta relativamente fácil tomar la decisión. La persona que toma la decisión se limita a elegir la solución que producirá el mejor resultado.

El riesgo es la condición que impera cuando las personas pueden definir un problema, especificar la probabilidad de que se presenten ciertos hechos, identificar soluciones alternativas y establecer la probabilidad de que cada solución lleve a un resultado. En general, riesgo significa que el problema y las soluciones alternativas están en algún punto ubicado entre el extremo de una cosa cierta y el extremo de una inusual y ambigua. De hecho, con frecuencia se piensa que el riesgo es una consecuencia incierta que puede derivarse de una decisión o de un proceso de decisión al aplicar un procedimiento o afrontar una contingencia.

La incertidumbre es la condición que impera cuando una persona no cuenta con la información necesaria para adjudicar probabilidades a los resultados de las soluciones alternativas. De hecho, la persona tal vez ni siquiera pueda definir el problema y mucho menos identificar soluciones alternativas y posibles resultados.

Las condiciones  en las que los individuos toman decisiones en una organización son el reflejo de la fuerza del entorno (sucesos, hechos). que los individuos no pueden controlar, pero pueden influir en el futuro en los resultados de sus decisiones, puede ser desde nuevas tecnologías o la presencia de nuevos competidores en un mercado hasta nuevas leyes o disturbios políticos. Con frecuencia los individuos basan sus decisiones en la limitada información de que disponen; de ahí que el monto de precisión dela información y el nivel de habilidades de conceptualización sean cruciales para la toma de decisiones. Las condiciones en las que se toman las decisiones pueden clasificarse en  términos generales como certeza o certidumbre, incertidumbre y riesgo. Prácticamente todas las decisiones se toman e un ambiente de cierta certidumbre. Sin embargo, el grado varía de una certeza relativa a una gran incertidumbre. En la toma de decisiones existen ciertos riesgos implícitos. En una situación en donde existe certeza, las personas están razonablemente seguras sobre lo que ocurrirá cuando tomen una decisión, cuentan con información que se considera confiable y se conocen las relaciones de causa y efecto. Esto significa que los que tomen una decisión conocen por adelantado lo que sucederá cuando tomen una decisión, el resultado de su decisión. Son pocas, las que se toman bajo condiciones de certidumbre.

Conclusión

Las condiciones en las que las personas toman decisiones en una organización son reflejo de las fuerzas del entorno (sucesos y hechos) que tales individuos no pueden controlar, pero las cuales pueden intervenir a futuro en los resultados de sus decisiones. Estas fuerzas pueden ir desde nuevas tecnologías o la presencia de nuevos competidores en un mercado hasta nuevas leyes o disturbios políticos. Además de intentar la identificación y medición de la magnitud de estas fuerzas, los administradores deben evaluar su posible impacto. Los administradores y demás empleados involucrados en los pronósticos y la planeación pueden sentirse fuertemente presionados a identificar tales hechos y sus impactos, especialmente cuando no es probable que ocurran hasta años después.

Prácticamente todas las decisiones se toman en un ambiente de cierta incertidumbre. Sin embargo, el grado varía de una certeza relativa a una gran incertidumbre. En la toma de decisiones existen ciertos riesgos implícitos. En una situación donde existe certeza, las personas están razonablemente seguras sobre lo que ocurrirá cuando tomen una decisión, cuentan con información que se considera confiable y se conocen las relaciones de causa y efecto.

En algunos casos, las decisiones se toman bajo condiciones de certeza, esto significa que el encargado de tomar una decisión conoce por anticipado el resultado de su elección. Son pocas las decisiones que se toman bajo condiciones de certeza o certidumbre. La toma de decisiones bajo certeza no es un proceso sencillo, cada una de las tareas a las que se enfrenta quien toma la decisión bajo certidumbre (identificar los actos disponibles, medir las consecuencias y seleccionar el mejor acto) involucra el uso de la teoría de la programación lineal. Algunos modelos matemáticos de la toma de decisiones bajo certidumbre son:

  • El análisis del punto de equilibrio, aquel que estudia la relación que existe entre costos y gastos fijos, costos y gastos variables, volumen de ventas y utilidades operacionales.
  • La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales, permitiéndonos plantear un tipo particular de modelo matemático, donde representamos en forma simplificada el problema de decisión, las variables de decisión, el objetivo y las restricciones mediante símbolos matemáticos y ecuaciones. Encontramos el método simplex y la solución grafica (entre otros) para resolver este tipo de modelos.
  • La programación de la producción es la actividad que consiste en la fijación de planes y horarios de la producción, de acuerdo a la prioridad de la operación por realizar, determinado así su inicio y fin, para lograr el nivel más eficiente (se emplea el diagrama de Gantt).
  • El control de inventario su objetivo reside en definir el nivel de inventario. Estas decisiones consisten en dar normas que nos precisen en que instante se deben efectuar los pedidos del producto considerado y la cantidad que se debe pedir.
  • El modelo PERT- CPM se basan en redes, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades.

Por otra parte en una situación de incertidumbre, las personas sólo tienen una base de datos muy deficiente. No saben si estos son o no confiables y tienen mucha inseguridad sobre los posibles cambios que pueda sufrir la situación. Más aún, no pueden evaluar las interacciones de las diferentes variables; la condición bajo la cual resulta más difícil tomar decisiones es la incertidumbre, pues en esta situación, los responsables de tomar decisiones no cuentan con información suficiente para tener en claro las alternativas o estimar su riesgo. Se basan ya sea en su intuición o en su creatividad. Por mucho, la situación típica es el riesgo. El encargado de tomar las decisiones es capaz de estimar la probabilidad de las alternativas o los resultados. Los modelos matemáticos de la toma de decisiones bajo incertidumbre son:

  • El criterio de Wald que es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las peores condiciones posibles.
  • El criterio maximax propone que el decisor debe buscar los mayores beneficios posibles para cada acción y escoger la acción que tenga mayores beneficios. Esta estrategia solo contempla el mayor beneficio posible e ignora las probabilidades y consecuencias de los otros sucesos que pueden ocurrir.
  • El criterio minimax sugiere que se seleccione la acción con menor perdía máxima posible, de otro modo, la que presente los mayores beneficios mínimos posibles.
  • El criterio de Hurwicz representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta la más pesimista.
  • En el criterio de Savage el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todos los demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el que ocurran.

El criterio de Laplace está basado en el principio de razón insuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puede presentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables.

En una situación de riesgo, quizás se cuente con información basada en hechos, pero la misma puede resultar incompleta. Para mejorar la toma de decisiones se puede estimar las probabilidades objetivas de un resultado, al utilizar, por ejemplo modelos matemáticos. Por otra parte se puede usar la probabilidad subjetiva, basada en el juicio y la experiencia. Afortunadamente se cuenta con varias herramientas que ayudan a los administradores a tomar decisiones más eficaces.

El riesgo suele significar que el problema y las soluciones alternativas ocupan algún punto intermedio entre los extremos representados por la plena información y definición y el carácter inusual y ambiguo.

La probabilidad es el porcentaje de veces en las que ocurriría un resultado específico si un individuo tomara muchas veces una misma decisión. El monto y calidad de la información disponible para un individuo sobre la condición pertinente de la toma de decisiones puede variar ampliamente, lo mismo que las estimaciones de riesgo del individuo.

La toma de decisiones cuando existe cierto número de estados de resultados posibles, para los cuales se conoce la distribución de probabilidades recibe el nombre de toma de decisiones bajo riesgo. En los problemas que involucran incertidumbre y riesgo, el estado de resultado era una contingencia acerca de la cual quien toma las decisiones en el peor de los casos se encontraba por completo en la oscuridad y en el mejor de los casos contaba con información sobre probabilidades.

Un enfoque racional para evaluar las alternativas bajo condiciones de riesgo es el uso del valor esperado. Este es un concepto que permite a quien toma las decisiones asignar un valor monetario según las consecuencias positivas y negativas que podrían resultar de la selección de una alternativa en particular. En el momento de tomar decisiones, todos los administradores deben de ponderar alternativas, muchas de las cuales implican sucesos futuros que resultan difíciles de prever: la reacción de un competidor a una nueva lista de precios, las tasas de interés dentro de tres años, la confiabilidad de un nuevo proveedor. Por esta razón, las situaciones de toma de decisiones se consideran dentro de una línea continua que va de la certeza (altamente previsible) a la turbulencia (altamente imprevisible).

Referencias Bibliográficas

AMATA AMAY, Jairo. Toma De Decisiones Gerenciales: Métodos cuantitativos para la administración. Universidad Santo Tomás.

BARRY, R. Métodos Cuantitativos Para Los Negocios. Pearson Educación, México.

CABAÑETE, Antonio. Toma de decisiones: Análisis y entorno organizativo. Universidad Politécnica de Catalunya. España (1997).

CASTRO, DIEZ & URRUTIA. Investigación operativa. Universidad del País Vasco.

HILLIER & LIEBERMAN. Investigación de operaciones 7ma Edición. McGraw-Hill.

TAHA, Hamdy A. Investigación de operaciones 7ma Edición. Pearson Educación. México (2004)

VEGA, Carlos. Programación de proyectos con PERT-CPM. Universidad Nacional del Santa. Perú (2008).



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